સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો: $x + y - az = 1$; $2x + ay + z = 1$; $ax + y - z = 2$. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો: $x-y+2z=7$,$3x+4y-5z=-5$,$2x-y+3z=12$.

ધારો કે $a, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$. સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો:
$a x + 2 y = \lambda$
$3 x - 2 y = \mu$
નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન(નો) સાચું(ચા) છે?
$(A)$ જો $a = -3$ હોય,તો $\lambda$ અને $\mu$ ની તમામ કિંમતો માટે આ સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.
$(B)$ જો $a \neq -3$ હોય,તો $\lambda$ અને $\mu$ ની તમામ કિંમતો માટે આ સિસ્ટમને અનન્ય ઉકેલ છે.
$(C)$ જો $\lambda + \mu = 0$ હોય,તો $a = -3$ માટે આ સિસ્ટમને અનંત ઉકેલો છે.
$(D)$ જો $\lambda + \mu \neq 0$ હોય,તો $a = -3$ માટે આ સિસ્ટમને કોઈ ઉકેલ નથી.

સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ $x+y+z=5$,$x+2y+\lambda^2 z=9$,અને $x+3y+\lambda z=\mu$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\lambda, \mu \in R$. તો,નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું નથી?

જો $AX=B$,જ્યાં $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$,$X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$,અને $B=\left[\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 2\end{array}\right]$ હોય,તો $2x+y-z$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = [a_{ij}]$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક છે,જ્યાં $a_{ij} = \begin{cases} (-1)^{j-i} & \text{જો } i < j \\ 2 & \text{જો } i = j \\ (-1)^{i+j} & \text{જો } i > j \end{cases}$ છે. તો $\det(3 \operatorname{Adj}(2 A^{-1}))$ ની કિંમત શોધો.